Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+bx﹣4（a≠0）的圖象與x軸交于A（﹣2，0）、C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）如圖1，連結BC，在線段BC上是否存在點E，使得△CDE為等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，若點P（m，n）是該二次函數圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB，PD，BD，求△BDP面積的最大值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）（8﹣2，﹣）、（0，﹣4）、（，﹣）；（3）（，﹣）．

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式；

（2）分類討論：當CD=DE時，當EC=DE時，當CD=CE時，根據等腰三角形的定義，可得關于m的方程，根據解方程，可得答案．

（3）根據題意得，點P的坐標為（m， m2-m-4），根據梯形的面積公式和三角形的面積公式計算求出△BDP面積，根據二次函數的性質解答．

試題解析：（1）∵二次函數y=ax2+bx-4（a≠0）的圖象與x軸交于A（-2，0）、C（8，0）兩點，

∴，

解得，

∴該二次函數的解析式為y=x2-x-4；

（2）在線段BC上是存在點E，使得△CDE為等腰三角形，

由二次函數y=x2-x-4可知對稱軸x=3，

∴D（3，0）．

∵C（8，0），

∴CD=5．

由二次函數y=x2-x-4可知B（0，-4）．

設BC的解析式為y=kx+b，

將B、C點坐標代入，得

，

解得，

BC的解析式為y=x-4．

E在線段BC上，設E點坐標為（m， m-4）．

①當CD=DE時，即（m-3）2+（m-4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合題意舍去），

當m=0時， m-4=-4，

∴E1（0，-4）；

②當EC=DE時，（m-8）2+（m-4）2=（m-3）2+（m-4）2，解得m3=，

當m=時， m-4=×-4=-，

∴E2（，-）；

③當CD=CE時，（m-8）2+（m-4）2=25，解得m4=8+2，m5=8-2（不符合題意舍），

當m=8+2時， m-4=，即E3（8+2， ）；

綜上所述：所有符合條件的點E的坐標為E1（0，-4）； E2（，-）；E3（8+2， ）．

（3）點P的坐標為（m， m2-m-4），

y=m2-m-4=（m-3）2-，

△BDP面積=×（4-m 2+m-4）×m-×3×4-×（m-3）×（-m2+m+4）

=-m2+m=-（m-）2+，

∴當m=時，△BDP面積的最大，此時點P的坐標為（， ）．