Question

【題目】兩個反比例函數y= （k＞1）和y= 在第一象限內的圖象如圖所示，點P在y= 的圖象上，PC⊥x軸于點C，交y= 的圖象于點A，PD⊥y軸于點D，交y= 的圖象于點B，BE⊥x軸于點E，當點P在y= 圖象上運動時，以下結論：①BA與DC始終平行；②PA與PB始終相等；③四邊形PAOB的面積不會發生變化；④△OBA的面積等于四邊形ACEB的面積．其中一定正確的是（填序號）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：設點P的坐標為（m， ），則點A（m， ），點C（m，0），點B（ ， ），點D（0， ）， ∴PB=m﹣ = ，PD=m，PA= ﹣ = ，PD=m，PC= ，
∵ = ， = = ，
∴BA∥DC，①成立；
∵PB= ，PA= ，
∴當m2=k時，PA=PB，②不成立；
S矩形OCPD=k，S△OBD= ，S△OAC= ，
S四邊形PAOB=S矩形OCPD﹣S△OBD﹣S△OBD=k﹣1，
∵k為固定值，
∴③成立；
S梯形BECA= （AC+BE）EC= （ + ）（m﹣ ）= ，S△OBA=S四邊形PAOB﹣S△PAB=k﹣1﹣ （m﹣ ）（ ﹣ ）= ，
∴S梯形BECA=S△OBA ， ④成立．
綜上可知：一定正確的為①③④．
故答案為：①③④．
設出點P的坐標，由此可得出A、C、B、D點的坐標，由點的坐標即可表示出各線段的長度，根據線段間的比例關系即可得出BA∥DC，即①成立；找出當PA=PB時，m的值，由此發現②不一定成立；③根據反比例函數系數k的幾何意義可得出三角形OBD、OAC以及矩形OCPD的面積，分割圖形即可得出S四邊形PAOB=k﹣1，即③成立；根據各邊長度計算出S梯形BECA ， 結合三角形的面積公式求出S△OBA ， 發現二者相等，由此得知④成立．綜上即可得出結論．