Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，在AB邊上取動點(diǎn)P，連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x，BE=y．
（1）當(dāng)BC=4時(shí)，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在滿足（1）的條件下，若△APD是等腰三角形時(shí)，求BE的長；
（3）在滿足（1）的條件下，點(diǎn)E能否與C點(diǎn)重合？若存在，求出相應(yīng)的AP的長；若不存在，請說明理由；
（4）當(dāng)BC在什么范圍內(nèi)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過C（直接寫出結(jié)果）．

Answer 1

解：（1）過D點(diǎn)作DH⊥AB于H，
則四邊形DHBC為矩形，
∴HB=CD=6，∴AH=AB-CD=2．
∵AP=x，∴PH=x-2，
∵∠DPH+∠PDH=90°，∠DPH+∠BPE=90°，
∴∠PDH=∠BPE．
∵∠DHP=∠B=90°，
∴△DPH∽△PEB．
∴，∴，
整理得：y=（x-2）（8-x）=-x²+x-4，
∵在AB邊上取動點(diǎn)P，連接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，AH=2，
∴2＜x＜6，
即y=-x²+x-4（2＜x＜8）；

（2）直角三角形AHD中，AH=AB-CD=2，DH=BC=4，根據(jù)勾股定理可得：AD=2，
要使△APD是等腰三角形，則
情況①：當(dāng)AP=AD=2，即x=2時(shí)：
BE=y=-×（2）²+×2-4=5-9
情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH=PH，
∵AH=2，PH=x-2，∴2=x-2，解得x=4，符合x的取值范圍，
那么：BE=y=-×4²+×4-4=2
情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，則AP²=PD²，
∴x²=4²+（x-2）²，解得x=5，符合x的取值范圍，
那么：BE=y=-×5²+×5-4=2

（3）在滿足（1）的條件下，若存在點(diǎn)E能與C點(diǎn)重合，
則y=-x²+x-4=4，整理得：x²-10x+32=0
∵△=（-10）²-4×32＜0，∴原方程無實(shí)數(shù)解，
∴在滿足（1）的條件下，不存在點(diǎn)E與C點(diǎn)重合．

（4）在滿足0＜BC≤時(shí)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過C．
分析：（1）可通過構(gòu)建相似三角形來求解，過D作AB的垂線DH，垂足為H，那么根據(jù)AB、CD的長，就能表示出AH、BH、PH的長，然后通過證三角形DPH和PBE相似，得出關(guān)于DH、PH、PB、BE的比例關(guān)系式，由于BC=DH，因此可得出關(guān)于x、y函數(shù)關(guān)系式．
（2）可分三種情況進(jìn)行討論；
①當(dāng)AP=AD時(shí)，AD可在直角三角形ADH中，根據(jù)AH的長和BC的長用勾股定理得出．那么此時(shí)就得出了AP的值即x的值，然后代入（1）的函數(shù)式即可得出BE的長．
②當(dāng)AD=PD時(shí)，可根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)先求出AH的值，那么AH=PH即可得出x的值，然后代入（1）的函數(shù)式求出BE．
③當(dāng)AP=PD時(shí)，可在直角三角形DPH中用含x的式子表示出PD²，然后根據(jù)AP²=AD²，求出x的值，然后根據(jù)（1）的函數(shù)式求出BE的長．
（3）當(dāng)E與C重合時(shí)，BE=AH，然后將（1）中得出的AH的值，代入（1）的函數(shù)式中，可得出一個(gè)關(guān)于x的二元一次方程，那么看看這個(gè)方程是否有解即可判斷出是否存在E與C重合的情況．
（4）如果在運(yùn)動的過程中，始終保持∠DPC=90°，那么以DC為直徑的圓會與AB相交或相切，為此DC的中點(diǎn)即圓心到AB的距離會小于等于半徑3．那么BC應(yīng)滿足的條件應(yīng)該是0＜BC≤．
點(diǎn)評：本題主要考查了直角梯形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn)，通過構(gòu)建相似三角形來得出二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．