Question

【題目】如圖，在中，，，．動點在邊上，以點為圓心，長為半徑的分別交、于點、，連接．

若點為邊上的中點（如圖），請你判斷直線與的位置關系，并證明你的結論；

當時（如圖），請你求出此時弦的長．

Answer 1

【答案】(1) 直線與相切，理由詳見解析；（2）．

【解析】

（1）直線CD與⊙O相切，連接OD，可證得∠CDO=90°，則直線CD與⊙O相切．
（2）過點C作CF⊥AB于點F，根據已知條件，可求出在三角形ABC中，AB=4．又∠BDC=45°，所以△DCF為等腰直角三角形，DF=CF，在Rt△BCF中，可求BF=，CF=3=DF，所以AD可用求差法進行求解．

解：直線與相切．

證明：如圖，連接．

∵，點為邊的中點，

∴，

，

∴，

∴；

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴直線與相切．

如圖，過點作于點；

∵，，

∴；

∵，

∴，；

在中，可求，，

在中，可求，

∴．