Question

【題目】如圖，將一副三角板中含有30°角的三角板的直角頂點落在等腰直角三角形的斜邊的中點D處，并繞點D旋轉，兩直角三角板的兩直角邊分別交于點E，F，下列結論：①DE=DF；②S四邊形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正確的序號是_____．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

連接AD，如圖，由已知條件利用ASA推導證明△DBE≌△DAF，根據全等三角形的性質可得DE=DF，由此可判斷①；同①一樣的道理可證明△DCF≌△DAE，由此可判斷②；由S△ABC=ADBC=AD2AD=AD2，確定出只有當DE⊥AB時，四邊形AEDF為矩形，此時AD=EF，由此可以判斷③；在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，再根據△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，即可得到EF2=BE2+CF2，由此可判斷④.

連接AD，如圖，

∵△ABC為等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠B=∠C=45°，

∵點D為等腰直角△ABC的斜邊的中點，

∴AD⊥BC，BD=CD=AD，AD平分∠BAC，

∴∠2+∠3=90°，∠1=45°，

∵∠EDF=90°，即∠4+∠3=90°，

∴∠2=∠4，

在△DBE和△DAF中

，

∴△DBE≌△DAF（ASA），

∴DE=DF，所以①正確；

同理可得△DCF≌△DAE，

∴S四邊形AEDF=S△BED+S△CFD，所以②正確；

∵S△ABC=ADBC=AD2AD=AD2，

而只有當DE⊥AB時，四邊形AEDF為矩形，此時AD=EF，

∴S△ABC不一定等于EF2，所以③錯誤；

在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，

∵△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，

∴BE=AF，CF=AE，

∴EF2=BE2+CF2，所以④正確，

故答案為：①②④．