Question

【題目】已知，等腰Rt△ABC，在直角邊AB的左側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連結BE，CE，其中CE交直線AP于點F.

(1)當∠PAB=29°時，求∠ACE的度數.

(2)當0°<∠PAB<45°時，利用(圖1)，求∠BEC度數.

(3)若45°<∠PAB<90°，用等式表示線段AB，FE，FC之間的數量關系，并證明.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），證明見解析

【解析】

（1）由軸對稱的性質和等腰三角形的性質得出∠EAP=∠PAB=29°，得出∠EAC=148°，證出AE=AC，由等腰三角形的性質和三角形內角和定理即可得出結果；

（2）由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，由三角形內角和定理即可得出結論；

（3）作CG⊥AP于G，由AAS證明△ACG≌△BAM，得出CG=AM，證出點A是△BCE的外接圓圓心，由圓周角定理得出，得出△EFM和△CFG是等腰直角三角形，由勾股定理即可得出結論.

（1）由軸對稱的性質可得：AE=AB，BM=EM，AM⊥BE，∠AME=∠BMA=90°，

∴∠EAP=∠PAB=29°，

∴∠EAC=90°+2×29°=148°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，

∴AE=AC，

∴；

（2）由（1）得：∠EAP=∠PAB，∠AEC=∠ACE，

∵∠AEC+∠ACE+∠EAC=180°，

∴∠AEC+∠ACE+2∠EAP =90°

即2∠AEC +2∠EAP =90°

∴∠EAP +∠AEC =45°

∴∠EFM =45°

∴∠BEC =45°；

（3）如圖2所示：作CG⊥AP于G

則，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∵，

∴點是的外接圓圓心，

∴，

∴，

∴和是等腰直角三角形，

∴，，

∵，

∴.