Question

【題目】已知：二次函數滿足下列條件：①拋物線y=ax2+bx與直線y=x只有一個交點；②對于任意實數x，a（-x+5）2+b（-x+5）=a（x-3）2+b（x-3）都成立．

（1）求二次函數y=ax2+bx的解析式；

（2）若當-2≤x≤r（r≠0）時，恰有t≤y≤1.5r成立，求t和r的值．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x；（2）t=-4，r=-1.

【解析】

（1）由①聯立方程組，根據拋物線y=ax2+bx與直線y=x只有一個交點可以求出b的值，由②可得對稱軸為x=1，從而得a的值，進而得出結論；

（2）進行分類討論，分別求出t和r的值.

（1）y=ax2+bx和y=x聯立得：ax2+(b+1)x=0，

Δ=0得：(b-1)2=0，得b=1，

∵對稱軸為=1，

∴=1，

∴a=，

∴y=x2+x.

（2）因為y=x2+x=(x-1)2+,

所以頂點（1，）

當-2<r<1，且r≠0時，

當x=r時，y最大=r2+r=1.5r，得r=-1，

當x=-2時，y最小=-4，

所以，這時t=-4，r=-1.

當r≥1時，

y最大=，所以1.5r=，

所以r=，不合題意，舍去，

綜上可得，t=-4，r=-1.