Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于兩點和，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，過點作軸的垂線，與直線相交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在直線下方的拋物線上運動時，線段的長度是否存在最大值？存在的話，求出其最大值和此時點的坐標；

（3）若以，，，為頂點的四邊形為平行四邊形，求點的所有坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，DE取最大值2， D（2，﹣1）；（3）點D的坐標是（2，﹣1）或或．

【解析】

(1)利用待定系數法求解可得；
(2)設點D坐標為(m，)，則E點的坐標為(m，)，求得DE關于m的函數關系式，根據二次函數的性質即可求解；

(3)分點D在DE上方和下方兩種情況，用的代數式表示出DE的長度，依據DE=2得出關于的方程，解之可得

(1)把點A(1，0)、B(4，0)代入，得：

，

解得，

∴拋物線的解析式是；

(2)存在．

對于二次函數，

令，則，

∴點C的坐標為(0，2)，

設直線BC的解析式為y＝kx+t，

把點B(4，0)，C(0，2)代入y＝kx+t，得：

，

解得，

∴；

設點D的坐標為，則點E的坐標為，

∴，

∴當m＝2時，DE取最大值2，

此時，

∴點D的坐標為(2，﹣1)；

(3)①當D在E下方時，

由(2)得：，

∵點C的坐標為(0，2)，

∴OC＝2，

∵OC∥DE，

∴當DE＝OC時，四邊形OCED為平行四邊形，

則，

解得m＝2，

此時點D的坐標為(2，﹣1)；

②當D在E上方時，，

同理，當DE＝OC時，四邊形OCED為平行四邊形，

即，

解得，

∴此時或，

綜上所述，點D的坐標是(2，﹣1)或或時，都可以使O，C，D，E為頂點的四邊形為平行四邊形．