Question

【題目】如圖，直線AB交x軸于點B（4，0），交y軸于點A（0，4），直線DM⊥x軸正半軸于點M，交線段AB于點C，DM=6，連接DA，∠DAC=90°．

（1）直接寫出直線AB的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）若點P是線段MB上的動點，過點P作x軸的垂線，交AB于點F，交過O、D、B三點的拋物線于點E，連接CE．是否存在點P，使△BPF與△FCE相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設直線AB的解析式為y=kx+b，將A（0，4），B（4，0）兩點坐標代入，

得 ，解得 ，所以，直線AB的解析式為y=﹣x+4；

（2）

解：過D點作DG⊥y軸，垂足為G，

∵OA=OB=4，

∴△OAB為等腰直角三角形，

又∵AD⊥AB，

∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°，即△ADG為等腰直角三角形，

∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=6﹣4=2，

∴D（2，6）；

（3）

解：存在．

由拋物線過O（0，0），B（4，0）兩點，設拋物線解析式為y=ax（x﹣4），

將D（2，6）代入，得a=﹣ ，所以，拋物線解析式為y=﹣ x（x﹣4），

由（2）可知，∠PBF=45°，則∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2），

設P（x，0），則MP=x﹣2，PB=4﹣x，

①當∠ECF=∠BPF=90°時（如圖1），△BPF與△FCE相似，

過C點作CH⊥EF，此時，△CHE、△CHF、△PBF為等腰直角三角形，

則PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，

將E（x，x）代入拋物線y=﹣ x（x﹣4）中，得x=﹣ x（x﹣4），解得x=0或 ，即P（ ，0），

②當∠CEF=∠BPF=90°時（如圖2），此時，△CEF、△BPF為等腰直角三角形，

則PE=MC=2，將E（x，2）代入拋物線y=﹣ x（x﹣4）中，得2=﹣ x（x﹣4），

解得x= 或 ，即P（ ，0），

所以，P（ ，0）或（ ，0）．

【解析】（1）根據A（0，4），B（4，0）兩點坐標，可求直線AB的解析式；（2）作DG⊥y軸，垂足為G，由已知得OA=OB=4，△OAB為等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余關系可知，△ADG為等腰直角三角形，則DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=6﹣4=2，可求D點坐標；（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），設拋物線的交點式，將D點坐標代入求拋物線解析式，由于對頂角∠CFE=∠BFP=45°，故當△BPF與△FCE相似時，分為：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°兩種情況，根據等腰直角三角形的性質求P點坐標．