Question

【題目】如圖，四邊形ABCD位于平面直角坐標系的第一象限，B、C在x軸上A點函數上，且AB∥CD∥y軸，AD∥x軸，B（1，0）、C（3，0）。

⑴試判斷四邊形ABCD的形狀。

⑵如圖若點P是線段BD上一點PE⊥BC于E，M是PD的中點，連EM、AM。

求證：AM=EM

⑶在圖中，連結AE交BD于N，則下列兩個結論：

①值不變；②的值不變。其中有且僅有一個是正確的，請選擇正確的結論證明并求其值。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）1

【解析】分析：（1）由AB∥CD∥y軸,AD∥x軸，可得：四邊形ABCD為矩形，根據A點函數為得：，從而可證：四邊形ABCD為正方形；
（2）作輔助線，延長EM交CD的延長線于G，連AE、AG，由， 可證：△PME≌△DMG，可得： 同理，可證：Rt△ABE≌Rt△ADG，可得： 從而可證：
（3）作輔助線，在圖2的AG上截取AH=AN，連DH、MH，由 可證：△ABN≌△ADH， 可得： 同理可證：△AMN≌△AMH，，可得： 故：為定值．

詳解：

(1)∵AB∥CD∥y軸,AD∥x軸，

∴四邊形ABCD為矩形，

當x=1時，y=AB=2，

∴AB=2，

∵BC=2，

∴AB=BC，

∴四邊形ABCD是正方形.

(2)證明：延長EM交CD的延長線于G，連AE、AG，

∵PE∥GC，

∴∠PEM=∠DGM，

又∵∠PME=∠GMD,PM=DM,

∴△PME≌△DMG，

∴EM=MG，PE=GD，

∵PE=BE，

∴BE=GD，

在Rt△ABE與Rt△ADG中，

∴Rt△ABE≌Rt△ADG，

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

∴

∴

(3)的值不變，值為1.理由如下：

在圖2的AG上截取AH=AN，連DH、MH，

∵AB=AD，AN=AH，

由(2)知∠BAN=∠DAH，

∴△ABN≌△ADH，

∴

∴

∴

由(2)知

又AN=AH，AM=AM，

∴△AMN≌△AMH，

∴MN=MH，

∴

即