Question

【題目】如圖，以△ABC的各邊，在邊BC的同側分別作三個正方形ABDI，BCFE，ACHG．

（1）求證：△BDE≌△BAC；

（2）求證：四邊形ADEG是平行四邊形．

（3）直接回答下面兩個問題，不必證明：

①當△ABC滿足條件_____________________時，四邊形ADEG是矩形．

②當△ABC滿足條件_____________________時，四邊形ADEG是正方形？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①∠BAC=135°；②∠BAC=135°且AC=

【解析】

（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC；

（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的對應邊DE=AG．然后利用正方形對角線的性質、周角的定義推知∠EDA+∠DAG=180°，易證ED∥GA；最后由“一組對邊平行且相等”的判定定理證得結論；

（3）①根據“矩形的內角都是直角”易證∠DAG=90°．然后由周角的定義求得∠BAC=135°；

②由“正方形的內角都是直角，四條邊都相等”易證∠DAG=90°，且AG=AD．由正方形ABDI和正方形ACHG的性質證得：ACAB．

（1）∵四邊形ABDI、四邊形BCFE、四邊形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°，∴∠ABC=∠EBD（同為∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，∵，∴△BDE≌△BAC（SAS）；

（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的對角線，∴∠BDA=∠BAD=45°．

∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°，∴DE∥AG，∴四邊形ADEG是平行四邊形（一組對邊平行且相等）．

（3）①當四邊形ADEG是矩形時，∠DAG=90°．

則∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即當∠BAC=135°時，平行四邊形ADEG是矩形；

②當四邊形ADEG是正方形時，∠DAG=90°，且AG=AD．

由①知，當∠DAG=90°時，∠BAC=135°．

∵四邊形ABDI是正方形，∴ADAB．

又∵四邊形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴ACAB，∴當∠BAC=135°且ACAB時，四邊形ADEG是正方形．