Question

【題目】如圖，AB 為半⊙O 的直徑，弦 AC 的延長線與過點 B 的切線交于點 D，E 為 BD的中點，連接 CE．

（1）求證：CE 為 O 的切線；

（2）過點 C 作 CF AB ，垂足為點 F，AC=5，CF=3，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

(1) 連接CO、EO、BC,可證的△EBOP≌△ECO，可得∠ECO=∠EBO=90°，所以CE為⊙O的切線；

（2）設：BF=x，利用勾股定理BC2+AC2=AB2可求出x的值，可得圓的半徑.

(1)連接CO、EO、BC

∵AB是直徑

∴∠BCA=∠BCD=90°

∵RtABCD中E為BD中點

∴CE=BE=ED

則△EBOP≌△ECO(SSS)

∠ECO=∠EBO=90°

∵點C在圓上

∴CE為⊙O的切線

（2）由題意得：AF=4

設：BF=x

利用勾股定理BC2=x2+32

BC2+AC2=AB2

x2+32+52=(x+4)2

解得：

則

則⊙O的半徑為