Question

【題目】如圖，二次函數的圖象交軸于、兩點，交軸于點，點的坐標為，頂點的坐標為．

（1）求二次函數的解析式和直線的解析式；

（2）點是直線上的一個動點，過點作軸垂線，交拋物線于點，當點在第一象限時，求線段長度的最大值；

（3）在拋物線上是否存在異于、的點，使中邊上的高？若存在求出點的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線，直線AD

（2）PM的最大值是 ，（3）存在，

【解析】

（1）可設拋物線解析式為頂點式，由B點坐標可求得拋物線的解析式，則可求得A，D點坐標，利用待定系數法可求得直線AD解析式； （2）設出P點坐標，從而可表示出PM的長度，利用二次函數的性質可求得其最大值； （3）過Q作QG∥y軸，交BD于點G，過Q和QH⊥BD于H，可設出Q點坐標，表示出QG的長度，由條件可證得△DHG為等腰直角三角形，則可得到關于Q點坐標的方程，可求得Q點坐標．

解： （1）∵拋物線的頂點C的坐標為（1，4），

∴可設拋物線解析式為，

∵點B（3，0）在該拋物線的圖象上，

∴，解得a=-1，

∴拋物線解析式為，即，

∵點D在y軸上，令x=0可得y=3， ∴D點坐標為（0，3），

令，得，所以

∴可設直線AD解析式為y=kx+3，

把A點坐標代入可得－k+3=0，解得k=3，

∴直線AD解析式為；

（2）因為B（3，0），D（0，3），所以直線BD為，

設P點橫坐標為m（m＞0），則P（m，-m+3），，

∴PM=，

∴當m=時，PM有最大值；

3）如圖，過Q作QG∥y軸交BD于點G，交x軸于點E，作QH⊥BD于H，

設Q，則G，

∴QG=，

∵△BOD是等腰直角三角形， ∴∠DBO=45°， ∴∠HGQ=∠BGE=45°，

當△BDQ中BD邊上的高為 時，即QH=HG=，

∴QG=， ∴，

當時，△=9-16＜0，方程無實數根，

當時，解得x=-1或x=4，

∴Q（-1，0）或（4，-5），

綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（-1，0）或（4，-5）．