Question

【題目】如圖，△ABC內接于⊙O，點D為⊙O上一點，連接BD、AD、CD，AD交BC于點E，作AG⊥CD于點G交BC于點F，∠ADB＝∠ABC．

（1）如圖1，求證：AB＝AC；

（2）如圖2．若BC為直徑，求證：EF2＝BE2+CF2

（3）如圖在（1）的條件下，若∠ADC＝60°，6CE＝5BF，DG＝，求⊙O的半徑長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）圓O的半徑為．

【解析】

(1)只需說明∠ABC=∠ACB即可；

(2)將△AFC繞點A順時針旋轉90°至△AHB，連接HE，再證明△AHE和△AFE全等，在Rt△BHE中由勾股定理即可得出結論；

(3)首先證明△ABC是等邊三角形，再證明AD=BD+CD，接著通過計算得出BE、EF、FC三條線段之比，注意到∠BDC=120°，解三角形BDC可求出BC長度，利用垂徑定理即可求得半徑長度．

(1)證明：∵∠ADB=∠ACB，∠ADB=∠ABC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

(2)∵BC是直徑，

∴∠BAC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

如圖2，將△AFC繞點A順時針旋轉90°至△AHB，連接HE．

則BH=CF，∠ABH=∠ACF=45°，∠FAC=∠HAB，AH=AF，

∴∠HBE=∠ABH+∠ABC=90°，

∵AG⊥CD于G，

∴∠AGD=90°，

∵∠ADC=∠ABC=45°，

∴∠DAG=45°，

∴∠FAC+∠BAE=∠BAC-∠DAG=90°-45°=45°，

∴∠BAH+∠BAE=45°，即∠HAE=45°，

∴∠HAE=∠FAE，

在△AHE和△AFE中：

，

∴△AHE≌△AFE(SAS)，

∴HE=FE，

在Rt△BHE中，由勾股定理有：HE2=BH2+BE2，

∴EF2=CF2+BE2；

(3)∵∠ADB=∠ABC=∠ACB=∠ADC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

如圖3，延長DC至N，使CN=BD，連接AN，

∵∠ABD+∠ACD=∠ACD+∠ACN=180°，

∴∠ABD=∠ACN，

在△ABD和△ACN中：

，

∴△ABD≌△ACN(SAS)，

∴AD=AN，

∵∠ADC=60°，

∴△ADN是等邊三角形，

∴AD=DN=DC+CN=DC+BD．

將△AFC繞點A順時針旋轉60°至△AMB，連接EM，

則∠MBA=∠FCA=60°，∠MAB=∠FAC，AM=AF，MB=CF，

∵AG⊥DC于G，∠ADC=60°，

∴∠EAF=30°，

∴AD=2DG，

∴∠BAE+∠FAC=∠BAC﹣∠EAF=30°，

∴∠BAE+∠BAM=30°，即∠MAE=∠FAE=30°，

在△MAE和△FAE中：

，

∴△MAE≌△FAE(SAS)，

∴ME=FE，

作MQ⊥BC于Q，

∵∠MBE=∠MBA+∠ABE=120°，

∴∠MBQ=60°，

設BE=x，CF=BM=y，

則BQ=，MQ=，

∴QE=BQ+BE=+x，

∴ME==，

∴EF=ME=，

∵6CE=5BF，

∴6(y+)=5(+x)，

∴=6y﹣5x，

整理得：(3x﹣5y)(8x﹣7y)=0，

∵x＞y，所以3x=5y，

設x=5k，y=3k，則EF=7k，

∴AC=BC=BE+EF+CF=15k，

∵∠DBE=∠DAC，∠BDE=∠ADC=60°，

∴△DBE△DAC，

∴，

∴AD=3BD，

又∵BD+CD=AD，

∴CD=2BD，

∴CD=AD，

∵DG=AD=，

∴AD=，

∴BD=AD=，CD=AD=，

作CH⊥BD于H，則∠CHD=90°，∠CDH=180°﹣∠CDB=60°，

∴DH=CD=，CH=DH =，

所以BH=BD+DH=，

所以CB==8，

連接OB、OC，則OB=OC，∠BOC=2∠BAC=120°，

作OP⊥BC于P，∠BOP=∠BOC=60°，BP=BC=4，

∴OB===，即圓O的半徑為．