Question

【題目】如圖，D為等邊三角形ABC內的一點， DA=5，DB=4，DC=3，將線段AD以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AD'，下列結論：①點D與點D'的距離為5；②∠ADC=150°；③△ACD'可以由△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到；④點D到CD'的距離為3；⑤S四邊形ABCD′=6+ ，其中正確的有（　　）

A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

連結DD′，根據旋轉的性質得AD=AD′，∠DAD′=60°，可判斷△ADD′為等邊三角形，則DD′=5，即可對①進行判斷；由△ABC為等邊三角形得到AB=AC，∠BAC=60°，

則把△ABD逆時針旋轉60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，于是可對③進行判斷；再根據勾股定理的逆定理得到△DD′C為直角三角形，則可對②④進行判斷；由于S四邊形ADCD′=S△ADD′+S△D′DC，利用等邊三角形的面積公式和直角三角形面積公式計算后可對⑤進行判斷．

連結DD′，如圖，

∵線段AD以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段AD′，

∴AD=AD′，∠DAD′=60°，

∴△ADD′為等邊三角形，

∴DD′=5，所以①正確；

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

∴把△ABD逆時針旋轉60°后，AB與AC重合，AD與AD′重合，

∴△ACD′可以由△ABD繞點A逆時針旋轉60°得到，所以③正確；

∴D′C=DB=4，

∵DC=3，

在△DD′C中，

∵32+42=52，

∴DC2+D′C2=DD′2，

∴△DD′C為直角三角形，

∴∠DCD′=90°，

∵△ADD′為等邊三角形，

∴∠ADD′=60°，

∴∠ADC≠150°，所以②錯誤；

∵∠DCD′=90°，

∴DC⊥CD′，

∴點D到CD′的距離為3，所以④正確；

∵S△ADD′+S△D′DC=×52+×3×4=6+，

所以⑤錯誤．

故選B．