Question

【題目】在平面內，給定不在同一直線上的點A，B，C，如圖所示．點O到點A，B，C的距離均等于a（a為常數），到點O的距離等于a的所有點組成圖形G，的平分線交圖形G于點D，連接AD，CD．

（1）求證：AD=CD；

（2）過點D作DEBA，垂足為E，作DFBC，垂足為F，延長DF交圖形G于點M，連接CM．若AD=CM，求直線DE與圖形G的公共點個數．

Answer 1

【答案】依題意畫出圖形G為⊙O，如圖所示,見解析；（1）證明見解析；（2）直線DE與圖形G的公共點個數為1個.

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的性質得出圖形G為⊙O，再根據在同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等得出；從而得出弦相等即可．

（2）先根據HL得出△CDF≌△CMF，得出DF=MF，從而得出BC為弦DM的垂直平分線，根據圓心角和圓周角之間的關系定理得出∠ABC=∠COD，再證得

DE為⊙O的切線即可

如圖所示，依題意畫出圖形G為⊙O，如圖所示

（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，

∴，∴AD=CD

（2）解：∵AD=CD，AD=CM，∴CD=CM.∵DF⊥BC，∴∠DFC=∠CFM=90°

在Rt△CDF和Rt△CMF中

，∴△CDF≌△CMF（HL），∴DF=MF，∴BC為弦DM的垂直平分線

∴BC為⊙O的直徑，連接OD

∵∠COD=2∠CBD，∠ABC=2∠CBD，∴∠ABC=∠COD，∴OD∥BE.

又∵DE⊥BA，∴∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，∴DE為⊙O的切線.

∴直線DE與圖形G的公共點個數為1個.