Question

【題目】如圖，△ABC是邊長為5cm的等邊三角形，點P，Q分別從頂點A，B同時出發，沿線段AB，BC運動，且它們的速度都為1cm/s．當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動，設點P的運動時間為t（s）．

（1）當t為何值時，△PBQ是直角三角形？

（2）連接AQ、CP，相交于點M，則點P，Q在運動的過程中，∠CMQ會變化嗎？若變化，則說明理由；若不變，請求出它的度數．

Answer 1

【答案】（1）當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；（2）∠CMQ=60°不變，理由詳見解析.

【解析】

（1）需要分類討論：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°兩種情況；

（2）∠CMQ=60°不變．通過證△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．

（1）設時間為t，則AP=BQ=t，PB=5-t，

①當∠PQB=90°時，

∵∠B=60°，

∴PB=2BQ，得5-t=2t，t=；

②當∠BPQ=90°時，

∵∠B=60°，

∴BQ=2BP，得t=2（5-t），t=；

∴當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形；

（2）∠CMQ=60°不變．

在△ABQ與△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），

∴∠BAQ=∠ACP，

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．