Question

【題目】如圖，已知拋物線(m＞0)與x軸相交于點A，B，與y軸相交于點C，且點A在點B的左側.

（1）若拋物線過點（2，2），求拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使AH+CH的值最小，若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在第四象限內，拋物線上是否存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點H的坐標為（1，）；（3）當m=時，在第四象限內拋物線上存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似.

【解析】

（1）把點（2，2）代入中，解出m的值即可得到拋物線的解析式；

（2）由（1）中所得解析式求出點A、B、C的坐標，由題意可知，點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，這樣連接BC與對稱軸的交點即為所求的點H，根據B、C的坐標求出直線BC的解析式即可求得點H的坐標；

（3）由解析式可得點A、B、C的坐標分別為（-2，0）、（m，0）和（0，2），如下圖，由圖可知∠ACB和∠ABM是鈍角，因此存在兩種可能性：①當△ACB∽△ABM，②△ACB∽△MBA，分這兩種情況結合題中已知條件進行分析解答即可.

（1）把點（2，2）代入拋物線，

得2=.

解得m=4.

∴拋物線的解析式為.

（2）令，解得.

則A（-2，0），B（4，0）.

對稱軸x=-.

∵ 中當x=0時，y=2，

∴點C的坐標為（0，2）.

∵點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，

∴連接BC與對稱軸的交點即為點H，此時AH+CH的值最小，

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得： ，

∴直線BC的解析式為y=.

∵當x=1時，y==.

∴點H的坐標為（1，）.

（3）假設存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似.

如下圖，連接AC，BC，AM，BM，過點M作MN⊥x軸于點N，

由圖易知，∠ACB和∠ABM為鈍角，

①當△ACB∽△ABM時，有=，即.

∵A（-2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=∠BAM=.

∵MN⊥x軸，∴∠BAM=∠AMN=45°，

∴AN=MN.

∴可設M的坐標為：（x，-x-2）（x＞0），

把點M的坐標代入拋物線的解析式，得：-x-2=.

化簡整理得：x=2m，

∴點M的坐標為：（2m，-2m-2）.

∴AM=.

∵，AC=，AB=m+2，

∴.

解得：m=.

∵m＞0，

∴m=.

②當△ACB∽△MBA時，有=，即.

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=，

∴△ANM∽△BOC，∴=.

∵BO=m，設ON=x，

∴=，即MN=（x+2）.

令M（x，）（x＞0），

把M點的坐標代入拋物線的解析式，

得=.

解得x=m+2.即M（m+2，）.

∵，CB=，MN=，

∴.

化簡整理，得16=0，顯然不成立.

綜上所述，當m=時，在第四象限內拋物線上存在點M，使得以點A，B，M為頂點的三角形與△ACB相似.