Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2+bx+c過點A（2，0）和B（3，3）．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點M在第二象限的拋物線上，且∠MBO＝∠ABO．

①直線BM交x軸于點N，求線段ON的長；

②延長BO交拋物線于點C，點P是平面內一點，連接PC、OP，當△POC∽△MOB時，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①ON＝6；②點P坐標為或

【解析】

（1）把點A、B坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）①證明△BOL≌△BOA，利用即可求解；②當△POC∽△MOB時，點P的位置可能第二象限也可能在第四象限，分別求解即可．

解：（1）把點A、B坐標代入二次函數表達式：

，解得： ，

故：拋物線的表達式為：……①；

（2）①過點B分別向x軸、y軸作垂線，交于點S、K，連接A、L，

點B坐標為（3，3）則：四邊形OSBK為正方形，

∵∠MBO＝∠ABO，BO是正方形OSBK的對角線，BO＝BO，

∴△BOL≌△BOA（AAS），

∴OA＝OL＝2，∴AL⊥BO，

sinα＝＝＝，則cosα＝，tanα＝ ，

∵OL∥BS，∴，即：，

則：ON＝6；

②則點N坐標為（﹣6，0），

把點L（0，2）、N坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b，

解得：y＝x+2…②，

聯立①、②解得：x＝﹣3或3（舍去3）

即點M坐標為（﹣3，1），

BC所在的直線的表達式為：y＝x…③，

聯立①、③解得：x＝﹣或3（舍去3），

則點C坐標為（﹣，﹣），

則：OM＝ ，OB＝3 ，OC＝ ，MB＝2

當△POC∽△MOB時，點P的位置可能第二象限也可能在第四象限，

當點P在第二象限時，如下圖，過點P作PH⊥x軸，

△POC∽△MOB，∠PCO＝∠MBO＝α，

∴＝=，即：＝ ，

解得：OP＝ ，PC═ ，

AB所在直線表達式中的k值為3，

∵∠PCO＝∠MBO＝∠OBA＝α，

∴PC所在直線表達式中的k值為3，

則：PC所在的直線表達式為：y＝3x+ ，

令y＝0，則x＝﹣，

即Q點坐標為（﹣，0），即：OQ＝，

則：CQ＝ ，則：PQ＝PC﹣CQ，

而PH2＝OP2﹣OH2＝PQ2﹣QH2＝PQ2﹣（OQ﹣OH）2，

其中，OP＝ ，PQ＝PC﹣CQ，OQ＝，

解得：OH＝，

則點P坐標為（﹣，），

當點P在第四象限時，同理可求點P坐標為，

故點P坐標為或．