Question

【題目】如圖，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，M 在 AC上，且AM＝6cm，過點 A(與 BC 在 AC 同側)作射線 AN⊥AC，若動點 P 從點 A 出發，沿射線 AN 勻速運動，運動速度為 1cm/s，設點 P 運動時間為 t 秒．

(1)經過 秒時，Rt△AMP 是等腰直角三角形？

(2)經過幾秒時，PM⊥MB？

(3)經過幾秒時，PM⊥AB？

(4)當△BMP 是等腰三角形時，直接寫出 t 的所有值．

Answer 1

【答案】(1)6；(2)2；(3)8；(4)2或.

【解析】

(1)得出腰時AM=AP，即可得出答案；

(2)根據垂直的定義和同角的余角相等得到∠CBM＝∠AMP，證明△CBM≌△AMP，根據全等三角形的性質得到 AP＝CM＝2，根據題意得到答案；

(3)證明△APM≌△CAB，根據全等三角形的性質得到 AP＝CA＝8，根據題意得到答案；

(4)分 MB＝MP 和 PB＝PM 兩種情況，根據全等三角形的性質，勾股定理計算即可．

(1)當 Rt△AMP 是等腰直角三角形時，AP＝AM＝6cm，

∴t＝6÷1＝6(s)，

故答案為：6；

(2)當 PM⊥MB 時，∠BMP＝90°，

∴∠BMC+∠AMP＝90°，又∠BMC+∠CBM＝90°，

∴∠CBM＝∠AMP，

在△CBM 和△AMP 中，

，

∴△CBM≌△AMP(ASA)，

∴AP＝CM＝2，

∴t＝2，即經過 2 秒時，PM⊥MB；

(3)當 PM⊥AB 時，如圖1，∠PHA＝90°，

∴∠HPA+∠HAP＝90°，又∠HAP+∠CAB＝90°，

∴∠APM＝∠CAB，

在△APM 和△CAB 中，

，

∴△APM≌△CAB(ASA)，

∴AP＝CA＝8，

∴t＝8，

∴經過 8 秒時，PM⊥AB；

(4)根據勾股定理得，BM＝，BP 的最小值為 8，

∵＜8，

∴BM≠BP，

當 MB＝MP 時，

在 Rt△BCM 和 Rt△MAP 中，

，

∴Rt△BCM≌Rt△MAP(HL)，

∴AP＝CM＝2， 則 t＝2，

當 PB＝PM 時，如圖2，作BF⊥AN于 F， 則四邊形 BCAF 為矩形，

∴BF＝CA＝8，AF＝BC＝6，

∴PF＝6﹣t，

由勾股定理得，BP2＝PF2+BF2，MP2＝AM2+AP2，

∴PF2+BF2＝AM2+AP2，即(6﹣t)2+82＝62+t2， 解得，t＝，

∴當△BMP 是等腰三角形時，t＝2 或.