Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足若 = ，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．
（1）求證：△ADF∽△AED；
（2）求FG的長；
（3）求tan∠E的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴DG=CG，

∴由垂徑定理可知： ，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED

（2）解：∵ = ，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴由垂徑定理可知：CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2

（3）解：∵AF=3，FG=2，

在△AFG中，

∴由勾股定理可知：AG= = ，

tan∠E=tan∠ADF= =

【解析】（1）AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，DG=CG，由垂徑定理可知： ，從而可知∠ADF=∠AED，從而可證明△ADF∽△AED．（2）由于 = ，所以CF=2，FD=6，從而CD=DF+CF=8，由垂徑定理可知CD=DG=4，從而求出FG的長度；（3）由于AF=3，FG=2，由勾股定理可知：AG= = ，從而可知tan∠E=tan∠ADF= = ．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和垂徑定理，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧才能得出正確答案．