Question

【題目】如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE=FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，下列結論正確的個數是（ ）
①△ABG∽△FDG ②HD平分∠EHG ③AG⊥BE ④S△HDG：S△HBG=tan∠DAG ⑤線段DH的最小值是2 ﹣2．

A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=CD，∠BAD=∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（SAS），

∴∠ABE=∠DCF，

在△ADG和△CDG中，

，

∴△ADG≌△CDG（SAS），

∴∠DAG=∠DCF，

∴∠ABE=∠DAG，

∵∠DAG+∠BAH=90°，

∴∠BAE+∠BAH=90°，

∴∠AHB=90°，

∴AG⊥BE，故③正確，

同法可證：△AGB≌△CGB，

∵DF∥CB，

∴△CBG∽△FDG，

∴△ABG∽△FDG，故①正確，

∵S△HDG：S△HBG=DG：BG=DF：BC=DF：CD=tan∠FCD，

又∵∠DAG=∠FCD，

∴S△HDG：S△HBG=tan∠FCD=tan∠DAG，故④正確

取AB的中點O，連接OD、OH，

∵正方形的邊長為4，

∴AO=OH= ×4=2，

由勾股定理得，OD= =2 ，

由三角形的三邊關系得，O、D、H三點共線時，DH最小，

DH最小=2 ﹣2．

無法證明DH平分∠EHG，故②錯誤，

故①③④⑤正確，

所以答案是：C．

【考點精析】關于本題考查的正方形的性質和相似三角形的判定與性質，需要了解正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．