Question

【題目】已知矩形ABCD，作∠ABC的平分線交AD邊于點M，作∠BMD的平分線交CD邊于點N．

（1）若N為CD的中點，如圖1，求證：BM＝AD+DM；

（2）若N與C點重合，如圖2，求tan∠MCD的值；

（3）若，AB＝6，如圖3，求BC的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；

【解析】

（1）如圖1，作輔助線，構建全等三角形，證明△DNM≌△CNE（AAS），得DM=CE，證明∠BMN=∠E=67.5°，可得結論；

（2）如圖2，當N與C重合時，BC=BM，設AB=x，則BM=BC=x，表示DM的長，根據三角函數定義可得結論；

（3）如圖3，延長MN、BC交于點G，根據等腰直角三角形定義可得BM的長，即是BG的長，設CG=m，則DM=2m，表示BC的長，列方程可得結論．

（1）證明：如圖1，延長MN、BC交于點E，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠D＝∠NCE，∠DMN＝∠NEC，

∵N是DC的中點，

∴DN＝CN，

∴△DNM≌△CNE（AAS），

∴DM＝CE，

∵BM平分∠ABC，∠ABC＝90°，

∴∠ABM＝∠MBE＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠AMB＝∠EBM＝45°，

∴∠BMD＝180°﹣45°＝135°，

∵MN平分∠BMD，

∴∠BMN＝∠DMN＝67.5°，

∴∠E＝∠DMN＝67.5°，

∴∠BMN＝∠E＝67.5°，

∴BM＝BE＝BC+CE＝AD+DM；

（2）解：如圖2，當N與C重合時，

由（1）知：∠BMC＝∠DMN＝∠BCM，

∴BC＝BM，

設AB＝x，則BM＝BC＝x，

∵AD＝BC，

∴DM＝x﹣x，

Rt△DMC中，tan∠MCD＝；

（3）解：如圖3，延長MN、BC交于點G，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝6，

∵，

∴CN＝2，DN＝4，

∵△ABM是等腰直角三角形，

∴BM＝6，

由（1）知：BM＝BG＝6，

∵DM∥CG，

∴△DMN∽△CGN，

∴，

設CG＝m，則DM＝2m，

6＝6+2m+m，

m＝2﹣2，

∴BC＝6+2m＝2+4．