Question

【題目】已知：如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+的圖象經過點A（2，6）和B（4，4），直線l經過點B并與x軸垂直，垂足為Q．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1，作AK⊥x軸，垂足為K，連接AO，點R是直線1上的點，如果△AOK與以O，Q，R為頂點的三角形相似，請直接寫出點R的縱坐標；

（3）如圖2，正方形CDEF的頂點C是第二象限拋物線上的點，點D，E在直線1上，以CF為底向右做等腰△CFM，直線l與CM，FM的交點分別是G，H，并且CG＝GM，FH＝HM，連接CE，與FM的交點為N，且點N的縱坐標是﹣1．

求：①tan∠DCG的值；

②點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣；（2）點R的縱坐標為12，﹣12，或﹣；（3）①tan∠DCG的值是，②點C坐標為（﹣1，3）．

【解析】

（1）將點A（2，6）和B（4，4）代入拋物線解析式，得方程組，解得a和b，再代回原解析式即可；

（2）設點R的縱坐標為n，則QN＝|n|，分兩種情況，根據(jù)相似關系列比例式即可解得；

（3）①由三角形的中位線，及證Rt△CDG≌Rt△FEH （HL）可解；

②先根據(jù)點C在拋物線上，設其橫坐標為m，然后用其分別表示出相關點的坐標，并表示出直線CE，再根據(jù)△CFN∽△EHN，及相似三角形對應邊上的高之比也等于相似比，從而建立關于m的方程，解之，然后代回點C即可．

（1）將點A（2，6）和B（4，4）代入y＝ax2+bx+得：

，解得

∴二次函數(shù)的表達式為y＝．

（2）∵A（2，6），AK⊥x軸，

∴K（2，0），

△AOK中，OK＝2，AK＝6，OA＝，

△OQR中，OQ＝4，

設點R的縱坐標為n，則QN＝|n|，

如果△AOK與以O，Q，R為頂點的三角形相似，有兩種情況：

①，則n＝±12；

② ，則 ，從而n＝±．

答：點R的縱坐標為，12，﹣12，或﹣．

（3）①∵CG＝GM，FH＝HM，

∴GH∥CF，GH＝CF，

∵等腰△CFM，

∴CG＝FH，

∵CDEF為正方形，

∴CD＝EF，∠CDG＝∠FEH＝90°，

∴Rt△CDG≌Rt△FEH （HL），

∴DG＝EH，

∵GH＝CF，

∴DG＝EH＝CF＝CD，

∴tan∠DCG＝＝，

答：tan∠DCG的值是．

②∵C是第二象限拋物線y＝上的點，

∴設點C坐標為（m，），則DC＝4﹣m，

∴F（m，﹣4+m），即F（m，），

∴E（4，），

∵CDEF為正方形，

∴∠DEC＝45°，

故可設CE解析式為：y＝﹣x+b，將點E坐標代入得b＝．

∴CE解析式為：y＝﹣x﹣，

∵點N的縱坐標是﹣1，

∴﹣1＝﹣x﹣，x＝﹣，

∴點N坐標為（﹣，﹣1），

∵CDEF為正方形，

∴CF∥EH，

∴△CFN∽△EHN，

∵tan∠DCG＝＝，DG＝EH，CD＝CF，

∴，則EH邊上的高與CF邊上的高的比值也為，

∴，

化簡得：﹣2m2+11m+13＝0，解得m＝（舍）或m＝﹣1，

∴點C坐標為（﹣1，3）．

答：點C坐標為（﹣1，3）．