Question

【題目】如圖，□ ABCD中，E是AD邊上一點，AD=4，CD=3，ED=,∠A=45．點P，Q分別是BC，CD邊上的動點，且始終保持∠EPQ=45°．將 CPQ沿它的一條邊翻折，當翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形時，線段BP的長為________．

Answer 1

【答案】，3，

【解析】過點B作BF⊥AD于點F，連接BE，根據平行四邊形的性質及已知條件，可證得△BEF是等腰直角三角形，求出BF、BE、的長，再利用三角形的外角性質結合已知，證明∠2=∠1，∠EBP=∠C，利用相似三角形的判定，可證得△BPE∽△CQP，再分三種情況討論：①當CQ=QP時，則BP=PE，可證得四邊形BPEF是矩形，可求出BP的長；②當CP=CQ時，則BP=BE=3；③當CP=PQ時，則BE=PE=3，再根據△BPE是等腰直角三角形，利用勾股定理，可求出BP的長，從而可得出答案.

如圖，過點B作BF⊥AD于點F，連接BE

∵平行四邊形ABCD

∴AD∥BC

∴∠BFE=∠FBP=90°

在Rt△ABF中，∠A=45°，AB=3

∴BF=AF=ABcos45°=3×=

∴EF=AD-AF-DE=4--=

∴EF=BF

∴∠FBE=∠EBP=45°=∠C

∠2+∠EFQ=∠1+∠C

∵∠EFQ=∠C=45°

∴∠2=∠1

∴△BPE∽△CQP

將 △ CPQ沿它的一條邊翻折，當翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形時，分三種情況：

①當CQ=QP時，則BP=PE

∴∠EBP=∠BEP=45°，則∠BPE=90°

∴四邊形BPEF是矩形

∴BP=EF=

②當CP=CQ時，則BP=BE=3

③當CP=PQ時，則BE=PE=3，∠BEP=90°

∴△BPE是等腰直角三角形

∴BP=.

故答案為：、3、