Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點D是直線AB上一點，延長CB到點E，使BE＝AD，連接DE，DC，

（1）若點D在線段AB上，且AB＝6，AD＝2（如圖①），求證：DE＝DC；并求出此時CD的長；

（2）若點D在線段AB的延長線上，（如圖②），此時是否仍有DE＝DC？請證明你的結論；

（3）在（2）的條件下，連接AE，若，求CD：AE的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析，CD＝2；（2）DE＝DC，理由見解析；（3）CD：AE＝．

【解析】

（1）過點D作DF∥BC交AC于點F，作DM⊥BC于點M，由題意可證△ADF是等邊三角形，可得AD=AF=DF=2=BE，可得∠DBE=∠DFC=120°，CF=DB=4，可證△DBE≌△CFD，可得DE=CD，由勾股定理可求CD的長；
（2）過點D作DF∥BC交AC的延長線于點F，由題意可證△ADF是等邊三角形，可得AD=DF=AF，由“SAS”可證△EBD≌△DFC，可得DE=DC；
（3）過點C作CH⊥AB于點H，過點A作AN⊥BC于點N，設AB=2x，AD=3x，由等邊三角形的性質可得BC=AC=2x，DF=BE=3x，BD=AD-AB=x，BN=BH=x，AN=x=CH，由勾股定理可求CD，AE的長，即可求CD：AE的值．

解：（1）過點D作DF∥BC交AC于點F，作DM⊥BC于點M，

∵△ABC是等邊三角形

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC＝6，

∴∠DBE＝120°

∵DF∥BC

∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∠AFD＝∠ACB＝60°

∴△ADF是等邊三角形，∠DFC＝120°

∴AD＝AF＝DF＝2，

∴BD＝AB﹣AD＝4＝AC﹣AF＝CF

∵BE＝AD＝DF＝2，∠DBE＝∠DFC＝120°，CF＝DB

∴△DBE≌△CFD（SAS）

∴DE＝DC

又∵DM⊥BC

∴CM＝EM＝EC＝（BE+BC）＝4

∵在Rt△DBM中，BD＝4，∠DBM＝60°

∴BM＝2，DM＝BM＝2

∴CD＝ ＝2 ；

（2）DE＝DC

理由如下：過點D作DF∥BC交AC的延長線于點F，

∵BC∥DF

∴∠ABC＝∠ADF＝60°，∠ACB＝∠AFD＝60°，

∴△ADF是等邊三角形，

∴AD＝DF＝AF，

∴AD﹣AB＝AF﹣AC

∴BD＝CF，且BE＝AD＝DF，∠EBD＝∠ABC＝60°＝∠AFD

∴△EBD≌△DFC（SAS）

∴DE＝CD；

（3）如圖，過點C作CH⊥AB于點H，過點A作AN⊥BC于點N，

∵

∴設AB＝2x，AD＝3x，

∴BC＝AC＝2x，DF＝BE＝3x，BD＝AD﹣AB＝x，

∵△ABC是等邊三角形，AN⊥BC，CH⊥AB

∴BN＝BH＝x，AN＝ x＝CH

在Rt△DHC中，DC＝ ＝ x，

在Rt△AEN中，AE＝ ＝ x，

∴CD：AE＝ ＝ ．

故答案為：（1）見解析，CD＝2；（2）DE＝DC，理由見解析；（3）CD：AE＝．