Question

【題目】已知△OAB在直角坐標系中的位置如圖，點A在第一象限，點B在x軸正半軸上，OA＝OB＝6，∠AOB＝30°．

（1）求點A、B的坐標；

（2）開口向上的拋物線經過原點O和點B，設其頂點為E，當△OBE為等腰直角三角形時，求拋物線的解析式；

（3）設半徑為2的⊙P與直線OA交于M、N兩點，已知，P（m，2）（m＞0），求m的值．

Answer 1

【答案】（1）A點坐標為，B點坐標為（6，0）；（2）；（3）m的值為或

【解析】

（1）根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可得AC的長，再根據銳角三角函數，可得OC，根據點的坐標，可得答案；

（2）根據等腰直角三角形，可得E點坐標，再根據待定系數法，可得答案；

（3）根據30°角所對的直角邊是斜邊的一半，可得∠CNP=30°，再根據勾股定理求得OE的長，根據點的坐標，可得N點坐標，根據點的左右平移，可得點P坐標.

（1）如圖1，

作 AC⊥OB于C點，

由OB＝OA＝6，得B點坐標為（6，0），

由OB＝OA＝6，∠AOB＝30°，得

，

∴A點坐標為；

（2）如圖2，

由其頂點為E，當△OBE為等腰直角三角形，得

，

即E點坐標為（3，﹣3）．

設拋物線的解析式為y＝a（x﹣3）2﹣3，將B點坐標代入，解得，

拋物線的解析式為

化簡得；

（3）如圖3，

PN＝2， ，PC＝1，

∠CNP＝∠AOB＝30°，

NP∥OB，

NE＝2，得ON＝4，

由勾股定理，得

，即．

N向右平移2個單位得，

N向左平移2個單位，得，

m的值為或．