Question

10．如圖①所示，四邊形ABCD中，∠ADC的角平分線DE與∠BCD的角平分線CA相交于E點，已知∠ACD=32°，∠CDE=58°．
（1）∠DEC的度數為90°；
（2）試說明直線AD∥BC；
（3）延長DE交BC于點F，連結AF，如圖②，當AC=8，DF=6時，求四邊形ADCF的面積．

Answer 1

分析 （1）根據三角形內角和定理即可求解；
（2）首先求得∠ADC的度數和∠DCB的度數，根據同旁內角互補，兩直線平行即可證得；
（3）根據S_{四邊形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF，利用三角形的面積公式求解即可．

解答 解：（1）∠DEC=180°-∠ACD-∠CDE=180°-32°-58°=90°；
（2）∵DE平分∠ADC，CA平分∠BCD
∴∠ADC=2∠CDE=116°，∠BCD=2∠ACD=64°
∵∠ADC+∠BCD=116°+64°=180°
∴AD∥BC
（3）∵由（1）知∠DEC=90°，
∴DE⊥AC
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DE=$\frac{1}{2}$×8•DE=4DE，
S_△ACF=$\frac{1}{2}$AC•EF=$\frac{1}{2}$×8•EF=4EF，
∴S_{四邊形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF=4DE+4EF=4（DE+EF）=4DF=4×6=24．

點評 本題考查了平行線的判定與性質，正確理解S_{四邊形ADCF}=S_△ACD+S_△ACF是解題的關鍵．