Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+x+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸交x軸于點D，已知點A的坐標為（﹣1，0），點C的坐標為（0，2）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F，當點E運動到什么位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2（2）（，4）或（，）或（，﹣）（3）（2，1）

【解析】

（1）利用待定系數法轉化為解方程組即可．

（2）如圖1中，分兩種情形討論①當CP＝CD時，②當DP＝DC時，分別求出點P坐標即可．

（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，設則（0≤a≤4），根據S四邊形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF構建二次函數，利用二次函數的性質即可解決問題．

解：（1）由題意

解得

∴二次函數的解析式為

（2）存在．如圖1中，

∵C（0，2），

∴CD＝

當CP＝CD時，

當DP＝DC時，

綜上所述，滿足條件的點P坐標為或或

（3）如圖2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），

∴直線BC的解析式為設

∴（0≤a≤4），

∵S四邊形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF

，

∴a＝2時，四邊形CDBF的面積最大，最大值為，

∴E（2，1）．