Question

【題目】已知：點P是∠MAN的角平分線上一點，PB⊥AM于B，PC⊥AN于C.

（1）如圖1，點D、E分別在線段AB、AC上，且∠DPE=∠BPC，求證：DE=BD+CE；

（2）如圖2，若D在AB的延長線上，E在直線AC上，則DE、BD、CE三者的數量關系變化嗎？若變化，請直接寫出結論即可。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）DE=CE-BD，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）在AM上截取BM=CE，由角平分線的性質得到PB=PC，再由邊角邊證得△PBQ≌△PCE，由全等三角形的性質得到PM=PE，∠BPM=∠CPE，再由邊角邊證△DPM≌△DPE，等量代換即可得證；

（2）在NM上截取CQ=BD，由角平分線的性質得到PB=PC，再由邊角邊證得△PBD≌△PCQ，由全等三角形的性質得到PD=PQ，∠BPD=∠CPQ，再由邊角邊證△DPE≌△QPE，等量代換即可得證

試題解析：（1）在AM上截取BM=CE,

∵點P在∠MAN的平分線上，PB⊥AM于B，PC⊥AN于C，

∴PB=PC，∠PBQ=∠PCE.

在△PBQ和△PCE中， ，

∴△PBQ≌△PCE（SAS），

∴PM=PE，∠BPM=∠CPE，

∵∠DPE=∠BPE，

∴∠DPE=∠BPD+∠CPE，

∴∠DPE=∠BPD+∠BPE，

即∠DPE=∠BPM，

在△DPM和△DPE中， ，

∴△DPM≌△DPE，（SAS）

∴DM=DE，

∵DM=DB+BM，

∴DE=BD+CE.

（2）在NM上截取CQ=BD，

∵點P在∠MAN的平分線上，PB⊥AM于B，PC⊥AN于C，

∴PB=PC，∠PBD=∠PCQ.

在△PBD和△PCQ中， ，

∴△PBD≌△PCQ（SAS），

∴PD=PQ，∠BPD=∠CPQ，

∵∠DPE=∠BPE，

∴∠DPE=∠BPD+∠CPE，

∴∠DPE=∠QPE，

在△DPE和△QPE中， ，

∴△DPE≌△QPE，（SAS）

∴DE=QE，

∵QE=CE-CQ，

∴DE=CE-BD.