Question

【題目】設m是不小于﹣1的實數，使得關于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有兩個實數根x1，x2．

（1）若x12+x22=2，求m的值；

（2）代數式+有無最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m的值為1；（2）當m=﹣1時，代數式的值最大，最大值為4．

【解析】

試題分析：（1）利用判別式的意義得到△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，加上m是不小于﹣1的實數，則﹣1≤m≤1，再根據根與系數的關系得到x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，接著利用完全平方公式得（x1+x2）2﹣2x1x2=2，則4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，然后解方程即可得到滿足條件的m的值；

（2）先通分，再把x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3整體代入得到代數式為﹣2m+2，然后根據m的取值范圍，利用一次函數的性質確定代數式的最大值．

解：（1）根據題意得△=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）≥0，解得m≤1，

∵m是不小于﹣1的實數

∴﹣1≤m≤1，

x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，

∵x12+x22=2，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，

∴4（m﹣2）2﹣2（m2﹣3m+3）=2，

整理得m2﹣5m+4=0，解得m1=1，m2=4（舍去），

∴m的值為1；

（2）代數式有最大值．理由如下：

+=m=m=m=﹣2m+2，

∴﹣1≤m≤1且m≠0，m≠1，

∴當m=﹣1時，代數式的值最大，最大值為4．