Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，ABC是等邊三角形，點D，E分別在邊BC，AC上，若∠ADE＝60°，則AB，CE，BD，DC之間的數量關系是　 　．

（2）拓展探究

如圖2，ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝α，點D，E分別在邊BC，AC上．若∠ADE＝α，則（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．

（3）解決問題

如圖3，在ABC中，∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，點P從點A出發，以1cm/s的速度沿A→B方向勾速運動，同時點M從點B出發，以cm/s的速度沿B→C方向勻速運動，當其中一個點運動至終點時，另一個點隨之停止運動，連接PM，在PM右側作∠PMG＝30°，該角的另一邊交射線CA于點G，連接PC．設運動時間為t（s），當△APG為等腰三角形時，直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）結論成立，見解析；（3）1或2

【解析】

（1）問題發現：通過角的關系可證△ABD∽△DCE，根據相似三角形對應邊成比例可得到線段的關系；

（2）拓展探究:可證明△ABD∽△DCE，即可得到結論；

（3）解決問題:可證△PBM∽△MCG，然后得到，用t可表示線段的長，當G點在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，代入計算即可；當G點在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，則△APG為等邊三角形，代入計算得到t．

解：（1）問題發現

AB，CE，BD，DC之間的數量關系是：，

理由：∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B＝∠C＝60°，

∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，∠ADE＝60°，

∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴．

故答案為：．

（2）拓展探究

（1）中的結論成立，

∵AB＝AC，∠B＝α，

∴∠B＝∠C＝α，

∴∠BAD+∠ADB＝180°﹣α，

∵∠ADE＝α，

∴∠CDE+∠ADB＝180°﹣α，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴；

（3）解決問題

∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，

∴∠B＝∠C＝30°，

∴∠BPM+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，

∵∠PMG＝30°，

∴∠CMG+∠PMB＝180°﹣30°＝150°，

∴∠BPM＝∠CMG，

又∠B＝∠C＝30°，

∴△PBM∽△MCG，

∴，

由題意可知AP＝t，BM＝t，即BP＝4﹣t，

如圖1，過點A作AH⊥BC于H，

∵∠B＝30°，AB＝AC＝4cm，

∴AH＝2cm，BH＝＝＝2cm，

∵AB＝AC，AH⊥BC，

∴BC＝2BH＝4cm，

∴MC＝（4t）cm，

∴，即CG＝3t，

當G點在線段AC上時，若△APG為等腰三角形時，則AP＝AG，如圖2，

此時AG＝AC﹣CG＝4﹣3t，

∴4﹣3t＝t，

解得：t＝1，

當G點在CA延長線上時，若△APG為等腰三角形時，如圖3，

此時∠PAG＝180°﹣120°＝60°，則△APG為等邊三角形，AP＝AG，

此時AG＝CG﹣AC＝3t﹣4，

∴3t﹣4＝t，

解得：t＝2，

∴當△APG為等腰三角形時，t的值為1或2．