Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

數學活動課上，老師讓同學們以“三角形平移與旋轉”為主題開展數學活動，和是兩個等邊三角形紙片，其中，．

解決問題

（1）勤奮小組將和按圖1所示的方式擺放(點在同一條直線上) ，連接．發現，請你給予證明；

（2）如圖2，創新小組在勤奮小組的基礎上繼續探究，將繞著點逆時針方向旋轉，當點恰好落在邊上時，求的面積；

拓展延伸

（3）如圖3，縝密小組在創新小組的基礎上，提出一個問題： “將沿方向平移得到連接，當恰好是以為斜邊的直角三角形時，求的值．請你直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）2

【解析】

（1）利用SAS證明△ACE≌△DCB即可得到結論；

（2）過點B作BF⊥AC，交AC的延長線于F，求出∠CBF=30°，得到CF=1cm，根據勾股定理求出BF，再根據三角形的面積公式計算即可；

（3）根據∠=90°證得，根據=60°求出，由此得到a的值.

（1）∵和是兩個等邊三角形，

∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠ECB=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE,

即∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB，

∴AE=BD；

（2）由題意得∠ACD=∠ECB=60°，

過點B作BF⊥AC，交AC的延長線于F，

∴∠BCF=180°-∠ACD-∠ECB=60°，∠F=90°，

∴∠CBF=30°，

∴CF=BC=1cm，

∴BF=cm，

∴=；

（3）由題意得∠ACD==60°，

∵∠=90°，

∴,

∵,

∴,

∴=2cm，

∴a=2.