Question

如圖，在等腰中，，為斜邊上的動點，若，交于、于.
小題1:如圖1，若時，則=           ；
小題2:如圖2，若時，求證：
小題3:如圖3，當=          時，.

Answer 1

 
小題1:過C作CG⊥AC交AD的延長線與G點，如圖1所示：

∵CG⊥AC，
∴CG∥AB．
∴△ABD∽△GCD．
∴．
∵AB=AC，
∴=．
∴tan∠EAF=．
∴=．
∵在Rt△ABF中，△AEF∽△BAF，
∴．
∴．     (3分)
小題2:過D作DG∥BF交AC于G點，如圖2所示：

∵CD：DB=1：2，
∴CG：GF=1：2．
∵由第一問知AF：AC=CD：BD=1：2，
∴AF：FC=1：1．
∴AF：FG=3：2．
∴AE：ED=3：2．
∴DE=AE．    （8分）
小題3:過D作DG∥BF交AC于G點，如圖3所示：
 
CD：BD=AF：AC=1：n，
CG：GF=1：n，
設CG=k，則：
GF=nk，
∵AE=2DE，
∴AF=2FG．
∴AF=2nk．
∴AC=3nk+k．
∵AC=nAF，
∴3nk+k=2n²k．
∴n=．  （12分）

主要是考查輔助線的做法和相似三角形的判定和性質定理。