Question

如圖，拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B，且OA＝OB．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點M為AB的中點，∠PMQ在AB的同側以 點M為中心旋轉，且∠PMQ＝45°，MP交y軸于點C，MQ交x軸于點D. 設AD＝m（m＞0），BC＝n，求n與m之間的函數關系式；
（3）在（2）的條件下，當∠PMQ的一邊恰好經過該拋物線與x軸的另一個交點時，求∠PMQ的另一邊所在直線的解析式．

Answer 1

（1）；（2）；（3）或

試題分析：（1）由拋物線得B（0，-4），再結合OA＝OB，且點A在x軸正半軸上，即可求得點A的坐標，從而求得結果；
（2）先根據等腰直角三角形的性質得到∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，即得∠ADM+∠AMD＝135°，由∠CMD＝45°可得∠AMD+∠BMC＝135°，證得△ADM∽△BMC，根據相似三角形的性質可得，再根據M為AB的中點可得AM＝BM＝，即可求得所求的函數關系式；
（3）由即可求得拋物線與x軸另一個交點為，由點A、B的坐標可求得AB中點M的坐標，再分①當MP經過點（-2，0）時，②當MQ經過點（-2，0）時，這兩種情況求解即可.
（1）由拋物線得B（0，-4），
∵OA＝OB，且點A在x軸正半軸上，
∴A（4，0）
將A（4，0）代入得
，解得
∴拋物線的解析式為；
（2）∵OA＝OB=4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，AB=，
∴∠ADM+∠AMD＝135°
∵∠CMD＝45°
∴∠AMD+∠BMC＝135°，
∴∠ADM＝∠BMC， 
∴△ADM∽△BMC，
∴，則，
∵M為AB的中點，
∴AM＝BM＝，
∴就是所求的函數關系式；
（3）由
∴拋物線與x軸另一個交點為（-2，0），
∵A（4，0），B（0，-4），
∴AB中點M的坐標為（2，-2）
①當MP經過點（-2，0）時，MP的解析式為
∵MP交y軸于點C，
∴C（0，-1），則n=BC＝OB－OC＝3
由，得
∴OD=OA-AD=，則D（，0）
∵MQ經過M（2，-2）、D（，0），
∴MQ的解析式為；
②當MQ經過點（-2，0）時，MQ的解析式為
此時，點D的坐標為（-2，0），m=AD=6
∴，即BC＝
∴OC＝OB－BC＝，則C（0，－）
∵MP經過M（2，-2）、C（0，－），
∴MP的解析式為.
點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現，需特別注意.