Question

【題目】如圖，P為正方形ABCD的對角線上任一點，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F．

（1）判斷DP與EF的關系，并證明；

（2）若正方形ABCD的邊長為6，∠ADP：∠PDC＝1：3．求PE的長．

Answer 1

【答案】（1）DP＝EF，且DP⊥EF，理由見解析；（2）6﹣3

【解析】

（1）如圖1，連接PB，由正方形的性質得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下來證明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后證明四邊形BFPE是矩形，由矩形的對角線相等可得到BP＝EF，從而等量代換可證得DP＝EF；如圖2，延長DP交EF于G，延長EP交CD于H，連接PB，由△CBP≌△CDP，依據全等三角形對應角相等可得到∠CDP＝∠CBP，由四邊形EPFB是矩形可證明∠CBP＝∠FEP，從而得到∠HDP＝∠FEP，由∠DPH+∠PDH＝90°可證明∠EPG+∠PEG＝90°，從而可得到DP⊥EF；

（2）先根據勾股定理計算AC，根據∠ADP：∠PDC＝1：3和三角形內角和定理可得∠CPD＝∠CDP，計算AP，由△AEP是等腰直角三角形，可得PE的長．

解：（1）DP＝EF，且DP⊥EF，理由是：

如圖1所示：連接PB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，

∵在△CBP和△CDP中，

，

∴△CBP≌△CDP（SAS），

∴DP＝BP，

∵PE⊥AB，PF⊥BC，

∴∠PEB＝∠ABC＝∠PFB＝90°，

∴四邊形BFPE是矩形，

∴BP＝EF，

∴DP＝EF；

如圖2所示：延長DP交EF于G，延長EP交CD于H，連接PB．

∵△CBP≌△CDP，

∴∠CDP＝∠CBP，

∵四邊形BFPE是矩形，

∴∠CBP＝∠FEP，

∴∠CDP＝∠FEP，

又∵∠EPG＝∠DPH，

∴∠EGP＝∠DHP，

∵PE⊥AB，AB∥DC，

∴PH⊥DC．即∠DHP＝90°，

∴∠EGP＝∠DHP＝90°，

∴PG⊥EF，即DP⊥EF；

（2）Rt△ADC中，AD＝CD＝6，

∴AC＝＝6，

∵∠ADP：∠PDC＝1：3，∠ADC＝90°，

∴∠CDP＝67.5°，

∵∠DCP＝45°，

∴∠CPD＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，

∴∠CPD＝∠CDP，

∴PC＝CD＝6，

∴AP＝6﹣6，

∵∠EAP＝45°，∠AEP＝90°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴PE＝＝6﹣3．