Question

【題目】閱讀材料，解決問題：

材料1：在研究數的整除時發現：能被5、25、125、625整除的數的特征是：分別看這個數的末一位、末兩位、末三位、末四位即可，推廣成一條結論；末位能被整除的數，本身必能被整除，反過來，末位不能被整除的數，本身也不可能被整除，例如判斷992250能否被25、625整除時，可按下列步驟計算：

，為整數，能被25整除

，不為整數，不能被625整除

材料2：用奇偶位差法判斷一個數能否被11這個數整除時，可把這個數的奇位上的數字與偶位上的數字分別加起來，再求它們的差，看差能否被11整除，若差能被11整除，則原數能被11整除，反之則不能.

（1）若這個三位數能被11整除，則　　；在該三位數末尾加上和為8的兩個數字，讓其成為一個五位數，該五位數仍能被11整除，求這個五位數

（2）若一個六位數p的最高位數字為5，千位數字是個位數字的2倍，且這個數既能被125整除，又能被11整除，求這個數．

Answer 1

【答案】（1）m＝8，68244；（2）這個數為580250或500500或530750或550000.

【解析】

（1）奇數位分別是6和2，偶數為是m，根據題意可知6＋2m能被11整除，且m為0至9的數，從而可求出m的值．設該五位數為，由題意可知a＋b＝8，且設ba＝11n，從而求出a、b的值．

（2）設這個六位數p為，根據題意可知：b＝2e，所以e只能取0或1或2或3或4，由材料一可知：能被125整除，可知＝250或500或750，然后分情況求出a、b、c、d、e的值．

解：（1）奇數位分別是6和2，偶數為是m，

∴由材料可知：6＋2m能被11整除，

∵0≤m≤9，且m是正整數，

∴m＝8，

設該五位數為，

∴奇數位之和為：b+2+6，偶數位之和為：a＋8，

∴根據題意可知：8＋b8a＝ba能被11整除，

∴設ba＝11n，n為整數，

∵a＋b＝8，

∴，

∴解得：，

∵0≤a≤9，0≤b≤9，

∴，，

∴，

∴n＝0，

∴a＝4，b＝4，

∴該數為68244；

（2）設這個六位數p為，

由題意可知：b＝2e，

∵0≤b≤9，

∴0≤e≤4.5，

∴e＝0或1或2或3或4，

∵能被125整除，

∴＝125n，n為正整數，

∴1≤n≤7，

∵e＝0或1或2或3或4，

∴n＝2或4或6，

∴＝250或500或750或000

∵偶數位之和為：5＋b＋d＝5＋2e＋d，奇數位之和為：a＋c＋e，

∴|（5＋2e＋d）（a＋c＋e）|＝|5＋e＋dac|能被11整除，

當＝250時，

∴c＝2，d＝5，e＝0，b＝0，

∴|5＋e＋dac|＝|8a|，

設|8a|＝11m，m為正整數，

∴a＝8±11m，

∵0≤a≤9，

∴≤m≤或≤m≤，

∴m＝0

∴a＝8，

∴該數為580250，

同理：當＝500時，該數為500500，

當＝750時，該數為530750，

當＝000時，該數為550000

綜上所述，該數為580250或500500或530750或550000.