Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，點D到點B與點C的距離相等，過點D作DE⊥BC于點E.

(1)求證：BE＝CE；

(2)請直接寫出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之間的數(shù)量關(guān)系；

(3)若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，理由見解析；（3）30°

【解析】

（1）利用等腰三角形底邊上三線合一即可證明．
（2）結(jié)論：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．如圖2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．證出∠ABN=∠AMN，再由角的和差求得。
（3）如圖3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．首先證明△DBN≌△DCM，推出∠BDN=∠CDM，推出∠CDB=∠MDN，由∠CAB+∠MDN=180°，推出∠CDB+∠CAB=180°，
利用（2）的結(jié)論求出∠ABC，∠CAB即可解決問題．

（1）證明：如圖1中，

∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底邊上三線合一）．
（2）結(jié)論：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如圖2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．

∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ABC=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
故答案為∠ABC-∠ACB=2∠ADE
（3）解：如圖3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．

∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．