Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣3，0），B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸是x＝﹣1，且與x軸交于E點．

（1）請直接寫出拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖2，連接AD，設點P是線段AD上的一個動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點G，交x軸于點H，連接AG、GD，當△ADG的面積為1時，

①求點P的坐標；

②連接PC、PE，探究PC、PE的數量關系和位置關系，并說明理由;

（3）設M為拋物線上一動點，N為拋物線的對稱軸上一動點，Q為x軸上一動點，當以Q、M、N、E為頂點的四邊形為正方形時，請直接寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3，頂點D坐標為（﹣1，4）；（2）①P（﹣2，2）；②PC＝PE，PC⊥PE，理由見解析；（3）Q（，0）或（，0）或（，0）或（，0）

【解析】

（1）根據待定系數法，即可得到答案；

（2）①易求：直線AD的解析式為：y＝2x+6，設點P（m，2m+6）（﹣3＜m＜﹣1），則G（m，﹣m2﹣2m+3），得到PG=﹣m2﹣4m﹣3，結合S△ADG＝1，列出關于m的方程即可；

②連接CE，根據勾股定理分別求出PC，PE， CE的值，即可得到PC、PE的數量關系和位置關系；

（3）設N（﹣1，n），Q（p，0），根據題意得：M（p，n），|p+1|＝|n|，﹣p2﹣2p+3＝n，即可求出點Q的坐標.

（1）∵拋物線y＝﹣x2+bx+c的對稱軸是x＝﹣1，

∴﹣ ＝﹣1，

∴b＝﹣2，

∴拋物線y＝﹣x2+bx+c的解析式為y＝﹣x2﹣2x+c，

∵拋物線過點A（﹣3，0），

∴0＝﹣9+6+c，

∴c＝3，

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∴頂點D坐標為（﹣1，4）；

（2）①由（1）知，D（﹣1，4），

∵A（﹣3，0），

∴直線AD的解析式為：y＝2x+6，

設點P（m，2m+6）（﹣3＜m＜﹣1），

由（1）知，拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3，

∵PH⊥x軸，

∴G（m，﹣m2﹣2m+3），

∴PG＝﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3，

∵△ADG的面積為1，

∴S△ADG＝PG×（﹣1+3）＝﹣m2﹣4m﹣3＝1，

∴m＝﹣2，

∴P（﹣2，2）；

②如圖2，連接CE，由（1）知，拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3，

∴C（0，3），

由①知，P（﹣2，2），

∵拋物線的對稱軸x＝1，

∴E（﹣1，0），

∴PC＝，PE＝＝， CE＝，

∴PC＝PE，PC2+PE2＝5+5＝10＝CE2，

∴△PCE是以CE為斜邊的直角三角形，

∴∠CPE＝90°．

∴PC⊥PE；

（3）設N（﹣1，n），Q（p，0），

∵以Q、M、N、E為頂點的四邊形為正方形，

∴M（p，n），|p+1|＝|n|①，

∵點M在拋物線上，

∴﹣p2﹣2p+3＝n②，

聯立①②解得， 或或或，

∴Q（，0）或（，0）或（，0）或（，0）．