Question

【題目】如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90.解答下列問題：

(1) 如果AB=AC，∠BAC=90．

①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖乙，線段CE、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．（不用證明）

②當點D在線段BC的延長線上時，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

(2) 如果AB≠AC，∠BAC≠90，點D在線段BC上運動．

試探究：當△ABC滿足一個什么條件時，CE⊥BD（點C、E重合除外）？畫出相應(yīng)的圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)∠BAD=∠CAE，BA=CA，AD=AE，運用“SAS”證明△ABD≌△ACE，根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得到線段CE、BD之間的關(guān)系；②先根據(jù)“SAS”證明△ABD≌△ACE，再根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，即可得到①中的結(jié)論仍然成立；

（2）先過點A作AG⊥AC交BC于點G，畫出符合要求的圖形，再結(jié)合圖形判定△GAD≌△CAE，得出對應(yīng)角相等，即可得出結(jié)論．

試題解析：（1）①CE與BD位置關(guān)系是CE⊥BD，數(shù)量關(guān)系是CE=BD.

理由：如圖乙,

∵∠BAD=90°∠DAC,∠CAE=90°∠DAC，

∴∠BAD=∠CAE.

又BA=CA，AD=AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)

∴∠ACE=∠B=45°且CE=BD.

∵∠ACB=∠B=45°，

∴∠ECB=45°+45°=90°，即CE⊥BD.

故答案為：CE⊥BD；CE=BD.

②當點D在BC的延長線上時,①的結(jié)論仍成立.

如圖丙,

∵∠DAE=90°,∠BAC=90°，

∴∠DAE=∠BAC，

∴∠DAB=∠EAC，

又AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC，

∴CE=BD，且∠ACE=∠ABD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

∴∠ACE=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

即CE⊥BD；

（2）如圖丁所示,當∠BCA=45°時,CE⊥BD.

理由：過點A作AG⊥AC交BC于點G，

∴AC=AG,∠AGC=45°，

即△ACG是等腰直角三角形，

∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC，

∴∠GAD=∠CAE，

又∵DA=EA，

∴△GAD≌△CAE，

∴∠ACE=∠AGD=45°，

∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，

即CE⊥BD.