Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，BC=3，邊AD在x軸上，點C在y軸上，點D坐標為（2，0），直線l：y=-2x-10經過點A、B.

（1）求四邊形ABCD的面積；

（2）將直線l向右平移，平移后的直線與x軸交于點P，與直線BC交于點Q，設AP=t.直線l在平移過程中，是否存在t的值，使△PDQ為等腰三角形？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；

（3）將直線l繞點A旋轉，當直線l將四邊形ABCD的面積分為1:3兩部分時，請直接寫出l與BC的交點M的坐標.

Answer 1

【答案】（1）20；（2）存在，t=2、3或7±2 ；（3）M1(-，-4)，M2(，-4) ．

【解析】

（1）根據函數解析式得到OA=5，求得AD=7，得到OC=4，于是得到結論；（2）需要分類討論，要使△PDQ為等腰三角形，需分三種情況進行計算驗證；（3）直線l將四邊形ABCD的面積分為1:3兩部分時，也是需要分類討論，即直線l左側部分面積：右側部分面積=1:3和線l右側部分面積：左側部分面積=1:3，再結合相似三角形的判定和性質，三角形面積計算即可解答.

解：（1）在y=-2x-10中，當y=0時，x=-5，
∴A（-5，0），
∴OA=5，
∴AD=7，
把x=-3代入y=-2x-10得，y=-4，
∴OC=4，
∴四邊形ABCD的面積=（3+7）×4=20；
故答案為：20；

（2）存在，理由如下：

∵四邊形ABQP是平行四邊形，∴PQ2=AB2=42+22=20，PD2=(7-t)2，DQ2=42+(5-t)2，

①當PQ2= PD2時，即20=(7-t)2，

解得：t1=7+2 , t2=7-2;

②當PQ2= DQ2時，即20=42+(5-t)2，

解得：t1=7（∵AD=7，∴t1=7時，P,D點重合，不符合題意，舍去） , t2=3;

③當PD2= DQ2時，即(7-t)2=42+(5-t)2，

解得：t=2，

綜上所述：當t=2，3或7±2 時，△PDQ為等腰三角形；

（3）①如圖：當點M在線段BC上時，即直線l左側部分面積：右側部分面積=1:3，

∴S△ABM=S四邊形ABCD=5 ，∵OC=4，∴BM上的高hBM=4,

∴S△ABM=×BM×hBM=5，即×BM×4=5，解得BM=，

∴CM=BC-BM=3-=,

又∵BC∥x軸，C(0，-4)，M點在第三象限，

∴M點的坐標為M1(- ，-4)；

②如圖：∵AD=7，OC=4，∴△ACD的面積=7×4÷2=14>5,

∴當直線l右側部分面積：左側部分面積=1:3時，點M就在點C的右側，設此時AM與CD的交點為點N，△AND中AD邊的高為hAD，△CNM中CM邊的高為hCM，

此時：S△AND=×AD×hAD=5，即×7×hAD=5，解得：hAD=，

∵AD∥CM，AD=7，OC=4， CM上的高hCM =4- =， ∴△AND∽△MNC，

∴AD:CM= hAD: hCM,即：7：CM=:，解得：CM=,

∴M點的坐標為M1( ，-4)；