Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M為斜邊AB上一動點，過M分別作MD⊥AC于點D， 作ME⊥CB于點E．

(1) 求證：四邊形DMEC是矩形．

(2) 求線段DE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）線段DE的最小值為.

【解析】試題分析：（1）由MD⊥AC，ME⊥CB及∠C=90°，根據有三個角是直角的四邊形是矩形即可得；

（2）連接CM，由四邊形CDME是矩形，可得DE=CM， 由垂線段最短可知當CM⊥AB時，CM最短， 根據面積法求出AB邊上的高即可.

試題解析：（1）∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，

又∵∠C=90°，∴ 四邊形CDME是矩形；

（2）連接CM，如圖所示：

∵四邊形CDME是矩形，∴DE=CM，

∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴ AB== =5，

當CM⊥AB時，CM最短， 此時△ABC的面積=ABCM=BCAC，

∴CM的最小值= = ，

∴線段DE的最小值為.