Question

閱讀下面一段：
計算1+5+5²+5³…+5⁹⁹+5¹⁰⁰
觀察發現，上式從第二項起，每項都是它前面一項的5倍，如果將上式各項都乘以5，所得新算式中除個別項外，其余與原式中的項相同，于是兩式相減將使差易于計算．
解：設S=1+5+5²+5³…+5⁹⁹+5¹⁰⁰，①
則5S=5+5²+…+5¹⁰⁰+5¹⁰¹，②
②-①得4S=5¹⁰¹-1，則S=

5101-1

4

．
上面計算用的方法稱為“錯位相減法”，如果一列數，從第二項起每一項與前一項之比都相等（本例中是都等于5），那么這列數的求和問題，均可用上述“錯位相減”法來解決．
下面請你觀察算式1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22000

是否具備上述規律？若是，請你嘗試用“錯位相減”法計算上式的結果．

Answer 1

分析：由題中的例子知從第二項起，每項都是它前面一項的5倍，等式兩邊同乘以5，觀察知算式1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2200

從第二項起，每項都是它前面一項的

1

2

倍，運用類比的方法，等式兩邊同時乘以

1

2

，再利用錯位相減法即可求得結果．

解答：解：此式具備上述規律
設S=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

22000

，①
則

1

2

S=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

22001

，②
①-②得

1

2

S=1-

1

22001

，
解得S=2-

1

22000

．
故答案為：2-

1

22000

．

點評：此題重在提高大家的模仿與應用能力，運用已知的信息解答新型問題，要充分理解題中信息，并靈活運用．