Question

如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，動點P從點B出發，在BA邊上以每秒5 cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發，在CB邊上以每秒4 cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0＜t＜2），連接PQ.
（1）若△BPQ與△ABC相似，求t的值；
（2）連接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）試證明：PQ的中點在△ABC的一條中位線上.

Answer 1

（1）t=1或；（2）；（3）證明見解析.

試題分析：（1）分兩種情況討論：①當△BPQ∽△BAC時， ，當△BPQ∽△BCA時， ，再根據BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入計算即可.
（2）過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根據△ACQ∽△CMP，得出 ，代入計算即可.
（3）過P作PD⊥AC于點D，連接DQ，BD，BD交PQ于點M，過點M作EF∥AC分別交BC，BA于E，F兩點，
證明四邊形PDQB是平行四邊形，則點M是PQ和BD的中點，進而由得到點E為BC的中點，由得到點F為BA的中點，因此，PQ中點在△ABC的中位線上.
試題解析：（1）①當△BPQ∽△BAC時，
∵ ，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；
②當△BPQ∽△BCA時，∵，∴ ，解得.
∴t=1或時，△BPQ與△ABC相似.
（2）如答圖，過P作PM⊥BC于點M，AQ，CP交于點N，則有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，
∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，
∴△ACQ∽△CMP.∴.∴ ，解得：.

（3）如答圖，過P作PD⊥AC于點D，連接DQ，BD，BD交PQ于點M，
則，
∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四邊形PDQB是平行四邊形.∴點M是PQ和BD的中點.
過點M作EF∥AC分別交BC，BA于E，F兩點，
則，即點E為BC的中點.
同理，點F為BA的中點.
∴PQ中點在△ABC的中位線上.