Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，D為AB邊上一點，點M、N分別在BC、AC邊上，
且DM⊥DN，作MF⊥AB于點F，NE⊥AB于點E。
（1）特殊驗證：如圖1，若AC=BC，且D為AB中點，求證：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC。
①如圖2，若D為AB中點，（1）中的兩個結論有一個仍成立，請指出并加以證明；
②如圖3，若BD=kAD，條件中“點M在BC邊上”改為“點M在線段CB的延長線上”，其它條件不變，請探究AE與DF的數量關系并加以證明。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）拓展探究見解析．

試題分析：（1）如圖1，連接CD，證明△AND≌△CMD，可得DN=DM；證明△NED≌△DFM，可得DF=NE，從而得到AE=NE=DF；
（2）①若D為AB中點，則分別證明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由線段比例關系可以證明AE=DF結論依然成立．
②若BD=kAD，證明思路與①類似．
（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，
如圖1所示，

連接CD，則CD⊥AB，
又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND與△CMD中，

∴△AND≌△CMD（ASA），
∴DN=DM．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，
∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，
在△NED與△DFM中，

∴△NED≌△DFM（ASA），
∴NE=DF．
∵△ANE為等腰直角三角形，
∴AE=NE，
∴AE=DF．
（2）①答：AE=DF．
由（1）證明可知：△DEN∽△MFD
∴，即MF•EN=DE•DF．
同理△AEN∽△MFB，
∴，即MF•EN=AE•BF．
∴DE•DF=AE•BF，
∴（AD-AE）•DF=AE•（BD-DF），
∴AD•DF=AE•BD，∴AE=DF．
②答：DF=kAE．
由①同理可得：DE•DF=AE•BF，
∴（AE-AD）•DF=AE•（DF-BD）
∴AD•DF=AE•BD
∵BD=kAD
∴DF=kAE．