Question

如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．

 

Answer 1

解：（1）∵B（4，m）在直線y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax²+bx+6上，

∴，解得，

∴拋物線的解析式為y=2x²﹣8x+6．

（2）設動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n²﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n²﹣8n+6），

=﹣2n²+9n﹣4，

=﹣2（n﹣）²+，

∵PC＞0，

∴當n=時，線段PC最大且為．

（3）∵△PAC為直角三角形，

i）若點P為直角頂點，則∠APC=90°．

由題意易知，PC∥y軸，∠APC=45°，因此這種情形不存在；

ii）若點A為直角頂點，則∠PAC=90°．

如答圖3﹣1，過點A（，）作AN⊥x軸于點N，則ON=，AN=．

過點A作AM⊥直線AB，交x軸于點M，則由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，

∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，

∴M（3，0）．

設直線AM的解析式為：y=kx+b，

則：，解得，

∴直線AM的解析式為：y=﹣x+3  ①

又拋物線的解析式為：y=2x²﹣8x+6 ②

聯立①②式，解得：x=3或x=（與點A重合，舍去）

∴C（3，0），即點C、M點重合．

當x=3時，y=x+2=5，

∴P₁（3，5）；

iii）若點C為直角頂點，則∠ACP=90°．

∵y=2x²﹣8x+6=2（x﹣2）²﹣2，

∴拋物線的對稱軸為直線x=2．

如答圖3﹣2，作點A（，）關于對稱軸x=2的對稱點C，

則點C在拋物線上，且C（，）．

當x=時，y=x+2=．

∴P₂（，）．

∵點P₁（3，5）、P₂（，）均在線段AB上，

∴綜上所述，△PAC為直角三角形時，點P的坐標為（3，5）或（，）．