Question

【題目】設二次函數y1=a（x﹣2）2+c（a≠0）的圖象與y軸的交點為（0，1），在x軸上截得的線段長為 ．
（1）求a、c的值．
（2）對于任意實數k，規定：當﹣2≤x≤1時，關于x的函數y2=y1﹣kx的最小值稱為k的“貢獻值”，記作g（k）．求g（k）的解析式．
（3）在（2）條件下，當“貢獻值”g（k）=1時，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：將（0，1）代入得：4a+c=1 ①．

又∵在x軸上截得的線段長為 ．

∴令y=0，則a（x﹣2）2+c=ax2﹣4ax+4a+c=0，

∴|x2﹣x1|= = =2 ，

，整理，得2a+c=0 ②，

聯立①②，解得：a= ，c=﹣1．

（2）解：∵y2=y1﹣kx，

∴y2= （x﹣2）2﹣1=﹣kx= x2﹣（k+2）x+1．

∴拋物線的對稱軸為x=k+2．

當k+2＜﹣2時，即k＜﹣4時，當x=﹣2時，y2有最小值，y2的最小值= ×4+2（k+2）+1=2k+7；

當﹣2≤k+2≤1時，即﹣4≤k≤﹣1時，當x=k+2時，y2有最小值，y2的最小值= （k+2）2﹣（k+2）2+1=﹣ （k+2）2+1．

當k+2＞1時，即k＞﹣1時，當x=1時，y2有最小值，y2的最小值= ×1﹣（k+2）+1=﹣k﹣ ．

綜上所述，g（k）的解析式為g（k）=

（3）解：當k＜﹣4時：令y=2k+7=1，得k=﹣3，不合題意舍去；

當﹣4≤k≤﹣1時：令y=﹣ （k+2）2+1=1；得k=﹣2．

當k＞﹣1時：令y=﹣k﹣ =1，得k=﹣ ，舍去．

綜上所述，k=﹣2．

【解析】（1）將（0，1）代入得：4a+c=1，在x軸上截得的線段長為 2 ，將y=0代入方程，由|x2﹣x1|= 2 ，利用根與系數的關系可得到2a+c=0，即可求出a、c的值。
（2）根據題意得出y2= x2﹣（k+2）x+1，可知拋物線的對稱軸為x=k+2，然后分三種情況討論：當k+2＜﹣2時，當﹣2≤k+2≤1時，當k+2＞1時，就可以分別求出y2的最小值，即可求出對應的函數解析式。
（3）由已知g（k）=1時，當k＜﹣4時：當﹣4≤k≤﹣1時：當k＞﹣1時,分別列出關于k的方程，解方程從而求得k的值。
【考點精析】通過靈活運用解二元一次方程組和二次函數圖象以及系數a、b、c的關系，掌握二元一次方程組：①代入消元法；②加減消元法；二次函數y=ax2+bx+c中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a>0時，拋物線開口向上; a<0時，拋物線開口向下b與對稱軸有關：對稱軸為x=-b/2a;c表示拋物線與y軸的交點坐標：（0，c）即可以解答此題．