Question

【題目】如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在邊BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．

（1）求證：BE=AF；

（2）設BD與EF交于點M，聯結AE交BD于點N，求證：BNMD=BDND．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析

【解析】試題分析：（1）先證明四邊形ADEF為平行四邊形得到AF＝DE，再證明∠DBE＝∠BDE得到BE＝DE，則BE＝AF；

（2）如圖，根據平行線分線段成比例定理，由EF∥AC得到AF：AB＝DM：BD等量代換得DE：AB＝DM：BD，再由DE∥AB得到DE：AB＝DN：BN，則DM：BD＝DN：BN，然后利用比例的性質即可得到結論．

試題解析：

證明：（1）∵DE∥AB，

∴∠A＋∠ADE＝180°，

∵∠DEF＝∠A，

∴∠DEF＋∠ADE＝180°，

∴EF∥AD，

∴四邊形ADEF為平行四邊形，

∴AF＝DE，

∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠DBE＝∠ABD，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∴BE＝AF；

（2）如圖，

∵EF∥AC，

∴AF：AB＝DM：BD，

∵AF＝DE，

∴DE：AB＝DM：BD，

∵DE∥AB，

∴DE：AB＝DN：BN，

∴DM：BD＝DN：BN，

即BN·MD＝BD·ND．