Question

【題目】如圖，的直徑為，弦為，為半圓弧的中點，連，的平分線交于點.

（1）求證：；

（2）直接寫出的長

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）利用圓周角定理可得∠ADB=∠ACB=90°，再利用圓心角、弧、弦的關系得到DA=DB，則可判斷△ADB為等腰直角三角形，把△CBD繞點D逆時針旋轉90°得到△EDA，利用旋轉的性質得∠CDE=90°，AE=BC，DE=DC，∠DAE=∠DBC，接著證明點C、A、E共線得到CA+CE= CD，從而得到結論；（2）利用勾股定理計算出AC=8，利用（1）中結論得到CD=7 ，然后證明DI=DB=5 ，從而得到CI=CD-DI=2．

（1）如圖，過點作交延長線于點，

∵為的直徑，

∴，

∵為半圓弧的中點，

∴，，

∵，

∴CD=DF，

∴（HL），

∴ ，

∴；

（2）在Rt△ABC中，，

∴CD=6+8，

∴CD=7 ，

在Rt△ABD中，BD= AB=5 ，

∵IB平分∠ABC，

∴∠4=∠CBI，

∵∠1=∠3=45°，

∴∠2=∠3+∠CBI=∠4+∠1=∠DBI，

∴DI=DB=5 ，

∴CI=CD-DI=7 -5 =2 （cm）．