Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點(點在點的左側)，經過點的直線與軸交于點與拋物線的另一個交點為，且．

（1）直接寫出點的坐標，并求直線的函數表達式(其中用含的式子表示)；

（2）點是直線上方的拋物線上的動點，若的面積的最大值為，求的值；

（3）設是拋物線對稱軸上的一點，點在拋物線上，以點為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），y=ax+a；（2）a=- ；（3）能，點P（1，-）或（1，-4）．

【解析】

（1）解方程即可得到結論，再根據直線l：y=kx+b過A（-1，0），得到直線l：y=kx+k，解方程得到點D的橫坐標為4，求得k=a，得到直線l的函數表達式為y=ax+a；
（2）過E作EF∥y軸交直線l于F，設E（x，ax2-2ax-3a），得到F（x，ax+a），求出EF=ax2-3ax-4a，根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；
（3）令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，得到D（4，5a），設P（1，m），①若AD是矩形ADPQ的一條邊，②若AD是矩形APDQ的對角線，列方程即可得到結論．

（1）當y=0時，ax2-2ax-3a=0，

解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0），

∵直線l：y=kx+b過A（-1，0），
∴0=-k+b，
即k=b，
∴直線l：y=kx+k，
∵拋物線與直線l交于點A，D，
∴ax2-2ax-3a=kx+k，
即ax2-（2a+k）x-3a-k=0，
∵CD=4AC，
∴點D的橫坐標為4，
∴-3- =-1×4，
∴k=a，
∴直線l的函數表達式為y=ax+a；

（2）過E作EF∥y軸交直線l于F，設E（x，ax2-2ax-3a），
則F（x，ax+a），EF=ax2-2ax-3a-ax-a=ax2-3ax-4a，
∴S△ACE=S△AFE-S△CEF=（ax2-3ax-4a）（x+1）-（ax2-3ax-4a）x=（ax2-3ax-4a）=a（x-）2-a，
∴△ACE的面積的最大值=-a，
∵△ACE的面積的最大值為，
∴-a=，
解得a=- ；
（3）以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，
令ax2-2ax-3a=ax+a，即ax2-3ax-4a=0，
解得：x1=-1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵拋物線的對稱軸為直線x=1，
設P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一條邊，
則Q（-4，21a），
m=21a+5a=26a，則P（1，26a），
∵四邊形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a-5a）2=22+（26a）2，
即a2= ，

∵a＜0，
∴a=- ，
∴P（1，-）；
②若AD是矩形APDQ的對角線，
則Q（2，-3a），
m=5a-（-3a）=8a，則P（1，8a），
∵四邊形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴（-1-1）2+（8a）2+（1-4）2+（8a-5a）2=52+（5a）2，
即a2=，
∵a＜0，
∴a=-，
∴P（1，-4），
綜上所述，點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形，點P（1，-）或（1，-4）．